Question

設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）記，試比較T_n與T_n+1的大小；若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列b_n的前n項(xiàng)的和，其中b_n=2^f（n），問是否存在正整數(shù)n，t，使成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入綜合求出f（n）的表達(dá)式；
（2）先利用上面的結(jié)論求出T_n的表達(dá)式，再對(duì)T_n與T_n+1的作商比較，從而求出T_n中的最大值，即可找到滿足T_n≤m時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）先利用b_n=2^f（n）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出S_n；把S_n代入，化簡(jiǎn)得，再分t=1以及t＞1求出其對(duì)應(yīng)的n即可說明結(jié)論．
解答：解：（1）f（1）=3，f（2）=6（2分）
當(dāng)x=1時(shí)，y取值為1，2，3，…，2n共有2n個(gè)格點(diǎn)
當(dāng)x=2時(shí)，y取值為1，2，3，…，n共有n個(gè)格點(diǎn)
∴f（n）=n+2n=3n（4分）
（2）由
則（5分）
當(dāng)n=1，2時(shí)，T_n+1≥T_n
當(dāng)n≥3時(shí)，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n（6分）
∴n=1時(shí)，T₁=9n=2，3時(shí)，n≥4時(shí)，T_n＜T₃
∴T_n中的最大值為（8分）
要使T_n≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，
只需
∴（9分）
（3）（10分）
將S_n代入，化簡(jiǎn)得，＜（﹡）（11分）
若t=1時(shí)，＜⇒8ⁿ＜，顯然不成立，
若t＞1時(shí)，（﹡）式化簡(jiǎn)為不可能成立，
綜上，不存在正整數(shù)n，t使成立．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列，函數(shù)以及不等式，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查．解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求出f（n）的表達(dá)式．