Question

設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．

（I）求橢圓的方程；

（II）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（I）橢圓的方程為；

（II）當時，，故

【解析】

試題分析：（I）由題設知，，， 由，

得．解得．所以橢圓的方程為

（II）方法1：設點，因為的中點坐標為，

所以所以

．

因為點在圓上，所以，即．

因為點在橢圓上，所以，即．

故．

因為，所以當時，

法2：由題知圓N: 的圓心為N；則

從而求的最大值轉化為求的最大值；

因為點在橢圓上，設點所以，即．

又因為,所以；

因為，所以當時，，故

方法3：①若直線的斜率存在，設的方程為，

由，解得．因為是橢圓上的任一點，設點，

所以，即．所以

故．

因為，所以當時，，故

②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為； 由，解得或. 

不妨設E(0，3),F(0，1)； 因為點在橢圓上，設點所以，即

所以，故

因為，所以當時，，故

考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算。

點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況，易于忽視。熟練進行平面向量的坐標運算，是正確解題的關鍵。