Question

已知函數.

(1) 當時，求函數的單調區間；

(2) 當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，求實數的取值范圍．

(3) 求證：，(其中，是自然對數的底).

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為;(2) ．(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：本小題主要通過函數與導數綜合應用問題，具體涉及到用導數來研究函數的單調性等知識內容，考查考生的運算求解能力，推理論證能力，其中重點對導數對函數的描述進行考查，本題是一道難度較高且綜合性較強的壓軸題，也是一道關于數列拆分問題的典型例題，對今后此類問題的求解有很好的導向作用. (1)代入的值，明確函數解析式，并注明函數的定義域，然后利用求導研究函數的單調性；（2）利用構造函數思想，構造，然后利用轉化思想，將問題轉化為只需，下面通過對進行分類討論進行研究函數的單調性，明確最值進而確定的取值范圍.(3)首先利用裂項相消法將不等式的坐標進行拆分和整理，然后借助第二問的結論進行放縮證明不等式.

試題解析：：(1) 當時，，

，

由解得，由解得.

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.                        (4分)

(2) 因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，

則當時，不等式恒成立，即恒成立，、

設()，只需即可．

由，

(i) 當時， ，

當時，，函數在上單調遞減，故成立． 

(ii) 當時，由，因，所以，

① 若，即時，在區間上，，

則函數在上單調遞增，在上無最大值，當時，     ，此時不滿足條件；

② 若，即時，函數在上單調遞減，

在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，當時，  ，不滿足條件．

(iii) 當時，由，∵，∴，

∴，故函數在上單調遞減，故成立．

綜上所述，實數a的取值范圍是．                                                                (8分)

(3) 據(2)知當時，在上恒成立

(或另證在區間上恒成立)，

又，

因此

.

.                                                  (12分)

考點：(1)導數來研究函數的單調性;(2)不等式證明.