Question

已知函數f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x，g（x）=

3x

2

-

2a

x

-f（x）（其中a∈R）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）在區間[2，+∞）上為增函數，求a的取值范圍；
（3）設函數h（x）=x²-mx+4，當a=1時，若存在x₁∈（0，1]，對任意的x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得f′（1）=

1

2

，從而可得f′（x）=

1

x

-

1

2

（x＞0），繼而可求f（x）的單調區間；
（2）g（x）=2x-lnx-

2a

x

+ln2-1在[2，+∞）上為增函數⇒g′（2）≥0，從而可求a的取值范圍；
（3）當a=1時，由g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=2(

1

x

-

1

4

)2+

15

8

＞0可知g（x）=2x-lnx-

2

x

+ln2-1在區間（0，1]上單調遞增，從而可求g（x）_max，依題意，由

g(1)≥h(1) g(1)≥h(2)

即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x=1+lnx-ln2-f′（1）•x，
∴f′（x）=

1

x

-f′（1），
∴f′（1）=1-f′（1），
∴f′（1）=

1

2

；
∴f′（x）=

1

x

-

1

2

（x＞0）．
由f′（x）＞0得0＜x＜2；由f′（x）＜0得x＞2；
∴f（x）的單調增區間為（0，2），單調減區間為（2，+∞）．
（2）∵g（x）=

3

2

x-

2a

x

-f（x）=

3

2

x-

2a

x

-（1+lnx-ln2-

1

2

•x）
=2x-lnx-

2a

x

+ln2-1在[2，+∞）上為增函數，
∴g′（2）=2-

1

x

|_x=2+

2a

x2

|_x=2≥0，
解得a≥-3．
（3）∵a=1，
∴g（x）=2x-lnx-

2

x

+ln2-1，
∴g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=2(

1

x

-

1

4

)2+

15

8

＞0，
∴g（x）=2x-lnx-

2

x

+ln2-1在區間（0，1]上單調遞增，
∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立”等價于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，
所以有 

g(1)≥h(1) g(1)≥h(2)

，
∴

ln2-1≥1-m+4 ln2-1≥4-2m+4

，
解得m≥6-ln2，
所以實數m的取值范圍是[6-ln2，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，著重考查導數在最大值、最小值問題中的應用，（3）中對題意的理解與應用是難點，屬于難題．