Question

汶川震后在社會各界的支持和幫助下，汶川一中臨時搭建了學校，學校餐廳也做到了保證每天供應1000名學生用餐，每星期一有A、B兩樣菜可供選擇（每個學生都將從二者中選一），為了讓學生們能夠安心上課對學生的用餐情況進行了調查．調查資料表明，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，若用A_n、B_n分別表示在第n個星期一選A、B菜的人數．
（1）試以A_n表示A_n+1；
（2）若A₁=200，求{A_n}的通項公式；
（3）問第n個星期一時，選A與選B的人數相等？

Answer 1

分析：（1）根據在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，可得A_n+1=A_n•（1-0.2）+0.3•B_n，結合A_n+B_n=1000，即可以A_n表示A_n+1；
（2）由（1）確定{A_n-600}可以看成是首項為-400，公比為

1

2

的等比數列，即可求{A_n}的通項公式；
（3）確定A_n=500，利用通項建立方程，即可求得結論．

解答：解：（1）由題可知，∵在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，
∴A_n+1=A_n•（1-0.2）+0.3•B_n，
又A_n+B_n=1000，所以整理得：An+1=

1

2

An+300．…（3分）
（2）若A₁=200，且An+1=

1

2

An+300，設An+1+x=

1

2

(An+x)，則x=-600，
∴An+1-600=

1

2

(An-600)，
即{A_n-600}可以看成是首項為-400，公比為

1

2

的等比數列．
∴An=(-400)•(

1

2

)n-1+600；…（9分）
（3）∵A_n=B_n，又A_n+B_n=1000，則A_n=500，
由(-400)•(

1

2

)n-1+600=500得n=3．
即第3個星期一時，選A與選B的人數相等．…（12分）

點評：本題考查數列的應用，考查求數列的通項，解題的關鍵是確定數列遞推式，從而確定數列的通項．