Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）設f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分別是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，記h（a）=M+m，求h（d）的最小值．
（2）當a=2，c=-1時，
①設A=[-1，1]，不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆A，求實數b的取值范圍；
②設g（x）=|x-t|-x²-bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得方程ax²+bx+c=x存在兩等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（-2）+f（1-）=9a--1，再利用單調性求出 h（a）的最小值．
（2）①由不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆A，可得 ，由此解得 b的范圍．
②根據f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1，分t＜-時、當-≤t≤ 時、t＞ 時三種情況分別求得f（x）+g（x）的最小值．
解答：解：（1）由題意可得方程ax²+bx+c=x 存在兩等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a．
∴f（x）=a +1-，它的對稱軸為 x=1-∈[，1]．
∵x∈[-2，2]，∴h（a）=M+m=f（-2）+f（1-）=9a--1，
∵a≥1，故函數 h（a）為增函數，
∴函數 h（a）的最小值為 h（1）=．
（2）當a=2，c=-1時，f（x）=2x²+bx-1，①由不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆A，可得 ，解得 b∈[-1，1]．
②f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1=．
當 t＜-時，最小值為-t-，
當-≤t≤ 時，最小值為 t²-1，
當t＞ 時，最小值為t-．
點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，集合間的包含關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．