Question

設F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：由∠F₁AF₂=90°，|AF₁|=3|AF₂|，可知S△F1AF2=b2=

3

2

|AF2|2，由此推導出a=

6

3

b，從而導出c，然后求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，
∴S△F1AF2=b2=

3

2

|AF2|2，∴|AF2|=

6

3

b，|AF1| =

6

b，
∴a=

1

2

(

6

b-

6

3

b)  =

6

3

b，
∴c= 

( 6 3 b)2+b2

=

15

3

b，
∴e=

15 3 b

6 3 b

=

10

2

．
答案：

10

2

．

點評：由∠F₁AF₂=90°，|AF₁|=3|AF₂|得到S△F1AF2=b2=

3

2

|AF2|2，是解題的關鍵步驟．