Question

四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F為線段SB的中點．
（Ⅰ）求證：SD∥平面CFA；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角大小．

Answer 1

（Ⅰ）連結BD交AC于點E，連結EF，
∵底面ABCD為平行四邊形，∴E為BD的中點．（2分）
在△BSD中，∵F為SB的中點，∴EF∥SD，（3分）
又∵EF?面CFA，SD?面CFA，∴SD∥平面CFA．（5分）
（Ⅱ）以BC的中點O為坐標原點，
分別以OA，OC，OS為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系．
∵∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F為線段SB的中點，
∴A(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)，S(0，0，

2

)，C(0，

2

，0)，
∴

SA

=(

2

，0，-

2

)，

SB

=(0，-

2

，-

2

)，

CS

=(0，-

2

，

2

)，

CD

=

BA

=(

2

，

2

，0)，（7分）
設平面SAB的一個法向量為

n1

=(x，y，z)
由

n1 • SA =0 n1 • SB =0

，得

2 x- 2 z=0 - 2 y- 2 z=0

，
令z=1得：x=1，y=-1，∴

n1

=(1，-1，1)．（9分）
同理設平面SCD的一個法向量為

n2

=(a，b，c)
由

n2 • CD =0 n2 • CS =0

，得

2 a+ 2 b=0 - 2 b+ 2 c=0

，
令b=1得：a=-1，c=1，
∴

n2

=(-1，1，1)．（10分）
設面SCD與面SAB所成二面角為θ
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

3

，
∴θ=arccos

1

3

．（12分）