Question

設a∈R，函數f（x）=

- 1 x +a，x＜0 x (x-a)-1，x＞0

（Ⅰ）當a=2時，試確定函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=2時，當x＜0時，f(x)=-

1

x

+2，當x＞0時，f(x)=

x

(x-2)-1，可用導數判單調性；
（2）當x＜0時，f（x）＞x-1?-

1

x

+a＞x-1?a＞

1

x

+x-1，轉化為求

1

x

+x-1的最大值問題
當x＞0時，f（x）＞x-1?

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，轉化為求x-

x

的最小值，可用導數求解．

解答：解：（Ⅰ）當x＜0時，f(x)=-

1

x

+2，
因為f′(x)=

1

x2

＞0，所以f（x）在（-∞，0）上為增函數；
當x＞0時，f(x)=

x

(x-2)-1，f′(x)=

3

2

x

-

1

x

，由f′（x）＞0，解得x＞

2

3

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

3

，
所以f（x）在(

2

3

，+∞)上為增函數，在(0，

2

3

)上為減函數．
綜上，f（x）增區間為（-∞，0）和(

2

3

，+∞)，減區間為(0，

2

3

)．
（Ⅱ）當x＜0時，由f（x）＞x-1，得-

1

x

+a＞x-1，即a＞

1

x

+x-1，
設g(x)=

1

x

+x-1，
所以g(x)=-[(-

1

x

)+(-x)]-1≤-2

(-x)•(- 1 x )

-1=-3（當且僅當x=-1時取等號），
所以當x=-1時，g（x）有最大值-3，
因為對任何x＜0，不等式a＞

1

x

+x-1恒成立，所以a＞-3；
當x＞0時，由f（x）＞x-1，得

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，
設h(x)=x-

x

，則h(x)=x-

x

=(

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以當

x

=

1

2

，即x=

1

4

時，h（x）有最小值-

1

4

，
因為對任何x＞0，不等式a＜x-

x

恒成立，所以a＜-

1

4

．
綜上，實數a的取值范圍為-3＜a＜-

1

4

．

點評：本題考查分段函數的單調性判斷、已知不等式恒成立求參數范圍問題，綜合性強，難度較大．