Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100米處射擊，如果命中記3分，且停止射擊； 若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已經在150米處，這時命中記2分，且停止射擊； 若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200米處，若第三次命中則記1分，并停止射擊； 若三次都未命中，則記0分．已知射手甲在100米處擊中目標的概率為，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的．
（Ⅰ）求這名射手分別在第二次、第三次射擊中命中目標的概率及三次射擊中命中目標的概率；
（Ⅱ）設這名射手在比賽中得分數為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A、B、C，三次均未命中目標的事件為D，設在x米處擊中目標的概率為P（x），則，根據射手甲在100米處擊中目標的概率為求出k的值，從而求出P（B）、P（C），由于各次射擊都是獨立的，所以該射手在三次射擊擊中目標的概率為，可求出所求；
（Ⅱ）設射手甲得分為ξ，ξ取值可能為0，1，2，3，分別求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望的公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A、B、C，三次均未命中目標的事件為D．
依題意．
 設在x米處擊中目標的概率為P（x），則，
由x=100m時，所以，k=5000，，…（2分）
∴，，…5 分
由于各次射擊都是獨立的，所以該射手在三次射擊擊中目標的概率為，
即
=． …（8分）
（Ⅱ）依題意，設射手甲得分為ξ，ξ取值可能為0，1，2，3則
，
，
，

所以ξ的分布列為

ξ		1	2	3
P

所以．…（12分）
點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．