Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對于任意的正整數(shù)n都有a_n•a_n+1≠1，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，則S₂₀₁₂=

4023

．

Answer 1

分析：再寫一式，兩式相減可推斷出a_n+3=a_n，進而可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，通過a₁=1，a₂=2，求得a₃，而2012=3×670+2，故可知S₂₀₁₂的答案．

解答：解：依題意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n-1a_na_n+1=a_n-1+a_n+a_n+1，
兩式相減得a_na_n+1（a_n+2-a_n-1）=a_n+2-a_n-1，
∵a_n•a_n+1≠1，
∴a_n+2-a_n-1=0，即a_n+3=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₁₂=670×（1+2+3）+1+2=4023
故答案為：4023．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和問題，解題的關(guān)鍵是找出數(shù)列的周期性．