Question

已知函數(shù)f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常數(shù)
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x+

1

x

-2＞0得，

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

＞0，由此能求出函數(shù)f（x）的定義域．
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立，故a＞3x-x²，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=lg(x+

a

x

-2)，a=1，
∴由x+

1

x

-2＞0得，

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

＞0
解得，f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0且x≠1}．
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立，
∴a＞3x-x²，而h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，確定a的取值范圍．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．