Question

已知函數y=x²-2ax+1在[-1，1]上的最大值為f（a），最小值為g（a）．
（1）求f（a）-g（a）的解析式；
（2）求f（a）-g（a）的最大值，最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的對稱軸和開口方向，由于函數既要求最大值，又要求最小值，需分四種情形討論，最后將最大值與最小值做差即可得函數f（a）-g（a）
（2）先畫出函數f（a）-g（a）的圖象，再數形結合求出f（a）-g（a）的最值即可

解答：解：（1）函數y=x²-2ax+1的對稱軸為x=a，開口向上，
∴當a＜-1時，函數在[-1，1]上為增函數，最大值為2-2a，最小值為2+2a
當-1≤a＜0時，函數在[-1，a]上為減函數，在[a，1]上為增函數，最大值為2-2a，最小值為1-a²
當0≤a≤1時，函數在[-1，a]上為減函數，在[a，1]上為增函數，最大值為2+2a，最小值為1-a²
當a＞1時，函數在[-1，1]上為減函數，最大值為2+2a，最小值為2-2a
∴f(a)-g(a)=

-4a (a-1)2 (a+1)2 4a

a＜-1 -1≤a＜0 0≤a≤1 a＞1

（2）函數f（a）-g（a）的圖象如圖，
∴所求函數有最小值1，無最大值

點評：本題考查了二次函數的圖象和性質，特別是求二次函數的最值，需要分類討論，做到不重不漏，解題時要學會用數形結合的思想方法解決問題