Question

已知函數，a為正常數．
（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，令其小于0，結合函數的定義域，可求函數的單調減區間；
（Ⅱ）由已知，，構造h（x）=g（x）+x，利用導數研究其單調性，及最值進行求解．
解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，
得，故函數f（x）的單調減區間為．                 …（5分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴，
設h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數，當1≤x≤2時，h（x）=lnx++x，
，令h′（x）≤0，得a═對x∈[1，2]恒成立
設，則，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在[1，2]上是增函數，則當x=2時，m（x）有最大值為，∴．
當0＜x＜1時，，，
令h'（x）≤0，得：，
設，則，∴t（x）在（0，1）上是增函數，
∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，綜上所述，．                 …（16分）
點評：本題考查函數單調性與導數的關系及應用，考查轉化、計算能力．