Question

如圖，，E、F分別是線段AC、AD的中點，連接BE、EF、FB、BD．
（1）請觀察圖形直接寫出兩對不同的線面垂直關系，并任選其中一對加以證明；
（2）試求直線BD與平面BEF所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．證明AC⊥CD，根據BC⊥CD，AC∩BC=C，可得CD⊥平面ABC，從而可得CD⊥AB，根據AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面BCD；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面BEF的法向量=（1，0，1），利用向量的夾角公式，即可求直線BD與平面BEF所成的角的大小．
解答：解：（1）由圖形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．下面證明AB⊥平面BCD：
在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=
在△ACD中，CD=1，AC=，AD=，∴AD²=AC²+DC²，∴AC⊥CD
∵BC⊥CD，AC∩BC=C
∴CD⊥平面ABC
∵AB?平面ABC
∴CD⊥AB
∵AB⊥BC，BC∩CD=C
∴AB⊥平面BCD；
（2）以C為原點，BC所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

則A（1，0，1），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，1，0），E（），F（）
設平面BEF的法向量為=（x，y，z），直線BD與平面BEF所成的角為θ
∵=（），=（）
∴，∴可取=（1，0，1）
∵=（-1，0，1）
∴sinθ===．
∵
∴θ=
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確運用空間向量解決線面角問題，屬于中檔題．