Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，求N點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，將PB平移到OE，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；（Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于F，連PF，設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE∥DF，根據(jù)線面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC

試題解析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、

、、、、，

從而

設(shè)的夾角為，則

∴與所成角的余弦值為.

（Ⅱ）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則

，由面可得，

∴

即點(diǎn)的坐標(biāo)為