Question

如圖，l₁、l₂是通過某城市開發區中心O的兩條南北和東西走向的街道，連接M、N兩地之間的鐵路線是圓心在l₂上的一段圓弧．若點M在點O正北方向，且|MO|=3km，點N到l₁、l₂的距離分別為4km和5km．
（1）建立適當坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；
（2）若該城市的某中學擬在點O正東方向選址建分校，考慮環境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于

26

km，求該校址距點O的最近距離（注：校址視為一個點）．

Answer 1

分析：（1）建立坐標系，利用圓心在弦的垂直平分線上求圓心坐標，再求半徑，進而寫出圓的方程．
（2）據條件列出不等式，運用函數單調性解決恒成立問題．

解答：解：（1）分別以l₂、l₁為x軸，y軸建立如圖坐標系．
據題意得M（0，3），N（4，5），∴kMN=

5-3

4-0

=

1

2

，
MN中點為（2，4），
∴線段MN的垂直平分線方程為：y-4=-2（x-2）），
故圓心A的坐標為（4，0），
半徑r=

(4-0)2+(0-3)2

=5，（5分）
∴弧

MN

的方程為：（x-4）²+y²=25（0≤x≤4，5≥y≥3）．（8分）
（2）設校址選在B（a，0）（a＞4），
則

(x-a)2+y2

≥

26

，對0≤x≤4恒成立．
即

(x-a)2+25-(x-4)2

 ≥ 

26

，對0≤x≤4恒成立．
整理得：（8-2a）x+a²-17≥0，對0≤x≤4恒成立（﹡）．（10分）
令f（x）=（8-2a）x+a²-17．
∵a＞4，∴8-2a＜0，
∴f（x）在[0，4]上為減函數，（12分）
∴要使（﹡）恒成立，當且僅當

a＞4 f(4)≥0

，即

a＞4 (8-2a)•4+a2-17≥0

，
解得a≥5，（14分）
即校址選在距O最近5km的地方．（16分）

點評：本題主要考查求點的軌跡方程的方法，函數的恒成立問題，利用二次函數在閉區間上的單調性求函數的值域，
屬于中檔題．