Question

已知實數x、y 僅滿足x•y＞0，且

8

xy

+

1

x

+

1

y

=1，則xy取值的范圍是（　　）

A．[4，+∞）

B．[16，+∞）

C．（16，+∞）

D．（0，4]∪[16，+∞）

Answer 1

分析：將

8

xy

+

1

x

+

1

y

=1變形為x+y=xy-8，再結合已知條件，利用基本不等式即可．

解答：解：∵

8

xy

+

1

x

+

1

y

=1，
∴

8

xy

=1-

1

x

-

1

y

=

xy-(x+y)

xy

，
∴xy=8+（x+y），
∴x+y=8-xy，
又x•y＞0，
∴若x＞0，y＞0，則

xy

＞0，
∴8-xy=x+y≥2

xy

（當且僅當x=y時取等號），
∴（

xy

+4）（

xy

-2）≤0，
∴-4≤

xy

≤2，又

xy

＞0，
∴0＜

xy

≤2，
∴0＜xy≤4；
若x＜0，y＜0，-x＞0，-y＞0，
同理可得8-xy≤-2

xy

，
∴

xy

≥4或

xy

≤-2（舍去），
∴xy≥16．
綜上所述，0＜xy≤4或xy≥16．
故選D．

點評：本題考查基本不等式的應用，考查轉化思想與分類討論思想及對等式變形應用的能力，屬于中檔題．