Question

(本小題滿分13分)

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，AC與DE交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求證：PD⊥BC；

(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大��；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

解：解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD中，連接DB，則△BCD是等邊三角形.

∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)

∴DE⊥BC.

∵PO⊥平面ABCD，

∴OD是斜線PD在底面ABCD內(nèi)的射影.

∴PD⊥BC.                                         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC，

菱形ABCD中，AD∥BC，

∴DE⊥AD.

又∵PO⊥平面ABCD，DE是PD在平面ABCD的射影，

∴PD⊥AD.

∴∠PDO為二面角P－AD－C的平面角.

在菱形ABCD中，AD⊥DE，由(1)知，△BCD為等邊三角形，

∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，AC與BD互相平分，

∴點(diǎn)O是△BCD重心.

∵AB＝6，

又∵在等邊△BDC中，

DO＝DE＝·BC＝×6＝6.

∴OC＝OD＝6.

∵PC＝6，∴PO＝6.

∴在Rt△POD中，tan∠PDO＝＝＝1.

∴∠PDO＝.

∴二面角P－AD－C的大小為.                              (9分)

(Ⅲ)取AD中點(diǎn)H，連接HB，HP.

則HB∥DE.

∴HB與PB所成角即是DE與PB所成角.

連接OH，OB.

∵PO⊥平面ABCD，OH，OB⊂平面ABCD，

∴PO⊥OH，PO⊥OB.

在Rt△DOH中，HD＝3，OD＝6，

∴OH＝3.

在Rt△PHO中，PH＝＝.

在Rt△POB中，OB＝OC＝6，PB＝＝6.

由(Ⅱ)可知DE＝HB＝9.

設(shè)HB與PB所成角為α，

則cosα＝＝.

∴異面直線PB、DE所成角的余弦值為.                                    (13分)

解法二：(Ⅰ)同解法一；                                    (4分)

(Ⅱ)過點(diǎn)O作AD平行線交AB于F，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的坐標(biāo)系.

∴A(6，－6,0)，B(3，3,0)，C(－3，3,0)，

D(0，－6,0)，P(0,0,6).

∴＝(－6，0,0)，＝(0，－6，－6).

設(shè)平面PAD的一個法向量為s＝(a，m，n).

則

即

∴

不妨取s＝(0，－1,1).

∵＝(0,0,6)是平面ADC的一個法向量，

∴cos〈s，〉＝＝.

∴二面角P－AD－C的大小為.                                 (9分)

(Ⅲ)由已知，可得點(diǎn)E(0,3,0).

∴＝(3，3，－6)，＝(0,9,0).

∴cos〈，〉＝＝.

即異面直線PB、DE所成角的余弦值為.  

【解析】略