Question

設A、B是雙曲線x²–=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.

（1）求直線AB的方程；

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

（1）AB∶y=x+1（2）A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓. 

解析:

(1)設AB∶y=k(x–1)+2代入x²–=1.

整理得（2–k²）x²–2k(2–k)x–(2–k)²–2=0       ①

設A(x₁,y₁)、B（x₂,y₂),x₁,x₂為方程①的兩根

所以2–k²≠0且x₁+x₂=. 又N為AB中點，

有（x₁+x₂）=1.∴k(2–k)=2–k²,解得k=1. 故AB∶y=x+1.

(2)解出A（–1，0）、B（3，4）得CD的方程為y=3–x  與雙曲線方程聯立.消y有x²+6x–11=0           ②

記C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄)及CD中點M(x₀,y₀)由韋達定理可得x₀=–3,y₀=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=. 即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓.