Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜

π

2

），若函數y=f（x）與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，
且直線x=

π

6

是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求ω的值；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間；
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）依題意求出函數的周期，利用周期公式求出ω；
（2）利用直線x=

π

6

是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．求出φ，得到函數的解析式，通過正弦函數的單調增區間，求出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（3）通過x∈[-

π

6

，

π

3

]，求出ωx+φ的范圍，然后求y=f（x）的值域．

解答：解：（1）函數y=f（x）與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，所以函數的周期是：T=π，所以ω=

2π

π

=2
（2）直線x=

π

6

是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，|φ|＜

π

2

，所以 φ=

π

6

，函數的解析式是：y=sin（2x+

π

6

）
因為2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z，所以，x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]k∈Z 所以函數的單調增區間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]k∈Z．
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]，所以2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
函數的值域為：[-

1

2

，1]

點評：本題是基礎題，考查三角函數的解析式的求法，三角函數的基本性質，對稱性、周期性、單調性、值域等等，考查計算能力，常考題型．