Question

設集合A={0，2，4，6}，B={1，3，5，7}，從集合A，B中各取2個元素組成沒有重復數字的四位數．
（1）可組成多少個這樣的四位數？
（2）有多少個是2的倍數或是5的倍數？

Answer 1

分析：（1）若這個四位數中沒有0，則這樣的四位數共有

C

2 3

•

C

2 4

•

A

4 4

個，若這個四位數中有0，則這樣的四位數共有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

個，再把求得的這兩個數相加，
即得所求．
（2）是2的倍數的數即偶數，按此偶數中沒有0，和這個偶數中有0兩種情況，分別求得偶數的個數，相加可得是2的倍數的數的個數．再根據是5的倍數的數，
末位是0或5，求得末位是0的數的個數，求得末尾5的數的個數，可得是5的倍數的數的個數．再把是2的倍數的數的個數與是5的倍數的數的個數相加，即得所求．

解答：解：（1）若這個四位數中沒有0，則這樣的四位數共有

C

2 3

•

C

2 4

•

A

4 4

=432個，
若這個四位數中有0，則先把0放到除首位外的其它位上，故這樣的四位數共有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=324個，
故所有的四位數共有432+324=756 個．
（2）①是2的倍數的數即偶數，若此偶數中沒有0，則這樣的偶數共有

C

2 3

•

C

2 4

•

C

1 2

•

A

3 3

=216個．
若這個偶數中有0，則有

C

1 3

•

C

2 4

種選法，且0應排在個位或者是中間2個位上，不能排在首位．
當0排在個位，這樣的偶數共有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=108個；
當0排在中間位，則另一個偶數在個位上，有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

1 2

•

A

2 2

=72個，
故有0的偶數公有108+71=180 個．
綜上，是2的倍數的共有216+180=396個．
②是5的倍數的數，末位是0或5，
若末位是0，則有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=108個，
若末位是5 且這個四位數中沒有0，則有

C

2 3

•

C

1 3

•

A

3 3

=54個，
若末位是5 且這個四位數中有0，則有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

1 2

•

A

2 2

=36個，
綜上可得，是5的倍數的數共有108+54+36=198 個．
故是2的倍數或是5的倍數的共有396+198=594個．

點評：題主要考查排列與組合及兩個基本原理的應用，注意特殊元素和特殊位置，要優(yōu)先考慮，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．