Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，

1

2

）上無零點，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求導函數f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數的單調增區間，令f′（x）＜0可求出函數單調減區間，注意與定義域求交集；
（2）因為f（x）＜0在區間（0，

1

2

）上恒成立不可能，故要使函數f（x）在（0，

1

2

）上無零點，只要對任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，然后利用參變量分離，利用導數研究不等式另一側的最值即可求出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，
則f′(x)=1-

2

x

，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的單調減區間為（0，2]，單調增區間為[2，+∞）．
（Ⅱ）因為f（x）＜0在區間（0，

1

2

）上恒成立不可能，
故要使函數f（x）在（0，

1

2

）上無零點，只要對任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，
即對x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．
令l′(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
則l′(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 lnx -2

(x-1)2

，
再令m(x)=2lnx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），則m′(x)=-

2

x2

+

2

x

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上為減函數，于是m（x）＞m(

1

2

)=2-2ln2＞0，
從而l（x）＞0，于是l（x）在（0，

1

2

）上為增函數，
所以l（x）＜l(

1

2

)=2-4ln2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數f（x）在（0，

1

2

）上無零點，則a的最小值為2-4ln2．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的極值，同時考查了轉化的思想和參變量分離的方法以及運算求解的能力，屬于中檔題．