Question

（A題） （奧賽班做）有三個(gè)信號監(jiān)測中心A、B、C，A位于B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°，相距4千米．在A測得一信號，4秒后，B、C才同時(shí)測得同一信號，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定信號源P的位置（即求出P點(diǎn)的坐標(biāo)）．（設(shè)該信號的傳播速度為1千米/秒，圖見答卷）

Answer 1

分析：由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)信號，則P在線段BC的中垂線上，又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)信號的時(shí)間差為4秒，知|PB|-|PA|=4，從而P在雙曲線的右支上，所以可確定P的坐標(biāo)，從而問題得解．

解答：解：取A、B所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，
建立直角坐標(biāo)系．則A、B、C的坐標(biāo)為
A（ 3，0 ）、B （-3，0 ）、C （-5，2

3

），（長度單位為千米）．
由已知|PB|-|PA|=4，所以點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)，
實(shí)軸長為4的雙曲線的右支上，
其方程為

x2

4

-

y2

5

=1（x≥2）①
又B、C同時(shí)測得同一信號，即有|PB|=|PC|
∴點(diǎn)P又在線段BC的中垂線上，
其方程為y-

3

=

3

3

(x+4)，
即 y=

3

3

(x+7)②
由①、②解得：

x=8 y=5 3

，
∴得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （ 8，5

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查從實(shí)際問題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，考查雙曲線的定義、軌跡方程的求解，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．