Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

4

)(x∈R)．
（1）求此函數(shù)的最小正周期與最值．
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的形式的周期公式即可求得周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得f（x）的值域；
（2）研究正弦函數(shù)在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)f（x）的最值，得到取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

4

)(x∈R)，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
∵x∈R，
∴-1≤sin(2x-

π

4

)≤1，
∴f（x）的最大值為2，f（x）最小值為-2；
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，

π

4

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
由正弦函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

8

]時(shí)，f（x）遞增，
當(dāng)x∈[

3π

8

，

3π

4

]時(shí)，f（x）遞減，
∴x=

3π

8

時(shí)，f（x）取最大值2，
當(dāng)x=

π

4

時(shí)，f（x）=2•

2

2

=

2

，
當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，f（x）=2•(-

2

2

)=-

2

，
∴f（x）的最小值-

2

，
故f（x）的取值范圍為[-

2

， 2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了形如y=Asin（ωx+φ）的形式的周期性，以及最值的求解．一般情況下，要研究形如y=Asin（ωx+φ）的形式的函數(shù)，都會(huì)將ωx+φ看作一個(gè)整體，利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解．屬于中檔題．