Question

某研究機構為了研究人的腳的大小與身高之問的關系，隨機抽測了20人，得到如下數據：

序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高x（厘米）	192	164	172	177	176	159	171	166	182	166
腳長y（碼）	48	38	40	43	44	37	40	39	46	39

序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高x（厘米）	169	178	167	174	168	179	165	170	162	170
腳長y（碼）	43	41	40	43	40	44	38	42	39	41

（Ⅰ）若“身高大于l75厘米”的為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”；“腳長大于42碼”的為“大腳”，“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”．請根據上表數據完成下面的2×2列聯表：

	高個	非高個	合計
大腳
非大腳		12
合計			20

（Ⅱ）根據題（I）中表格的數據，若按99%的可靠性要求，能否認為腳的大小與身高之間有關系？
（Ⅲ）若按下面的方法從這20人中抽取1人來核查測量數據的誤差：將一個標有數字1，2，3，4，5，6的正六面體骰子連續投擲兩次，記朝上的兩個數字的乘積為被抽取人的序號．試求：①抽到12號的概率；②抽到“無效序號（超過20號）”的概率．

Answer 1

分析：I）直接將數據統計填在表中即可；
（Ⅱ）可直接利用獨立性檢驗公式求得x²的值進而得出結論；
（Ⅲ）求出連續投擲兩次所有的結果，按古典概型計算公式進行計算即可．

解答：解：（I）據題意，列出2×2列聯表為：

	高個	非高個	合計
大腳	5	2	7
非大腳	1	12	13
合計	6	14	20

…（3分）（說明：黑框內的三個數據每個（1分），黑框外合計數據有錯誤的暫不扣分）
（II）假設H₀：腳的大小與身高之間沒有關系
根據列聯表得X²=

20×(5×12-1×2)2

6×14×7×13

≈8.802
當H₀成立時，X²＞7.789的概率大約為0.005，而這里8.802＞7.897
所以有99%的可靠性，認為腳的大小與身高之間有關．
（Ⅲ）連續投擲兩次所有的結果有6×6=36
由古典概型的概率公式得
①抽到12號的概率為P1=

4

36

=

1

9

；…（9分）
②抽到“無效序號（超過20號）”的概率為P2=

6

36

=

1

6

…（14分）

點評：概率與統計問題的應用難度不大，但易出現下面的一些錯誤：一是不能準確地掌握各計算公式，二是出現計算方面的錯誤．