Question

對于定義在區間D上的函數f（x），若存在閉區間[a，b]⊆D和常數c，使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當x₂∉[a，b]時，f（x₂）＞c恒成立，則稱函數f（x）為區間D上的“平底型”函數．
（1）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；
（2）若函數g(x)=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，求m和n的值．

Answer 1

分析：（1）對于函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|，欲判斷其是否是“平底型”函數，只須什么f₁（x）＞1是否恒成立，對于函數f₂（x）=x+|x-2|，當x∈（-∞，2]時，f₂（x）=2；當x∈（2，+∞）時，f₂（x）=2x-2＞2，故可得結論；
（2）函數g（x）=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，等價于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對任意的x∈[a，b]成立，利用恒等關系，可得到關于m，n，c的方程，解出它們的值，最后通過驗證g（x）是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數即可解決問題．

解答：解：（1）對于函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|，當x∈[1，2]時，f₁（x）=1．
當x＜1或x＞2時，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f₁（x）是“平底型”函數．
對于函數f₂（x）=x+|x-2|，當x∈（-∞，2]時，f₂（x）=2；當x∈（2，+∞）時，
f₂（x）=2x-2＞2．
所以不存在閉區間[a，b]，使當x∉[a，b]時，f（x）＞2恒成立．
故f₂（x）不是“平底型”函數；
（2）由“平底型”函數定義知，存在閉區間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數c，使得對任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以

m2=1 -2cm=2 c2=n

，所以

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

…（14分）
①當

m=1 c=-1 n=1

時，g（x）=x+|x+1|．
當x∈[-2，-1]時，g（x）=-1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此時，g（x）是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數…（16分）
②當

m=-1 c=1 n=1

時，g（x）=-x+|x+1|．
當x∈[-2，-1]時，g（x）=-2x-1≥1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=1．
此時，g（x）不是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數．（12分）
綜上分析，m=1，n=1為所求…（18分）

點評：本題考查新定義，考查函數恒成立問題，考查函數的最值，解題的關鍵是利用恒成立結論等式，從而可得參數的值，屬于難題．