Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

1+x2

，則f(

1

2013

)+f(

1

2012

)+f(

1

2011

)+…+f(

1

2

)+f(1)+f（2）+f（3）+…+f（2013）=

4025

2

．

Answer 1

分析：觀察所求的式子，探索互為倒數(shù)的自變量對應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，證出f（x）+f（

1

x

）=1．由此將所求的式子重組，代入前面證出的關(guān)系式，即可求出所求式子的值．

解答：解：∵f(x)=

x2

1+x2

，∴f(

1

x

)=

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

1

1+x2

由此可得f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=

x2+1

1+x2

=1．
∴f(

1

2013

)+f(

1

2012

)+f(

1

2011

)+…+f(

1

2

)+f(1)+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=[f(

1

2013

)+f(2013)]+[f(

1

2012

)+f(2012)]+…+{f(

1

2

)+f(2)]+f（1）
=2012+

12

1+12

=2012+

1

2

=

4025

2

故答案為：

4025

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)表達(dá)式，求特殊函數(shù)值的和．著重考查了函數(shù)的定義與性質(zhì)、函數(shù)值的求法與代數(shù)式的分組求和等知識(shí)，屬于中檔題．