Question

若x、y、z均為正實數，則

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

分析：法1、根據題意，設出函數的最大值，列出不等式恒成立；將不等式變形，經過配方，要是不等式恒成立，需要 (1-

1

2

a2) ≥0，求出a的范圍，其倒數為最大值的范圍．
法2、利用基本不等式對

xy+yz

x2+y2+z2

進行化簡，注意對原式進行配湊為

2y (x+z)

2 (x2+y2+z2)

．

解答：解：法1、設

xy+yz

x2+y2+z2

≤

1

a

恒成立，此不等式可化為
x²+y²+z²-axy-ayz≥0
即 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2+(1-

1

2

a2)y2≥0恒成立
由于 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2≥ 0，
故 (1-

1

2

a2)y2≥0
于是有

1

a

≤

2

2

故

xy+yz

x2+y2+z2

≤

2

2

恒成立．
法2、

xy+yz

x2+y2+z2

=

2 y(x+z)

2 (x2+y2+z2)

≤

2y2(x+z)2

2 (x2+y2+z2)

=

2y2(x2+2xz+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

≤

2(y2+x2+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

=

2

2

，
當且僅當當且僅當x=z=

2

2

y，等號成立，
∴

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值為

2

2

故選A

點評：本題考查將函數的最值問題轉化為不等式恒成立問題，體現了轉化的數學思想、同時考查對二次函數配方的處理方法以及運算能力．屬難題