Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間？
（3）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，+2]上的最大值與最小值？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求導函數(shù)，再代入列方程組，即可解得a、b的值
（2）分別解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[-2，2]上的極大值和極小值，最后比較端點值f（-2），f（2）與極值的大小確定函數(shù)在[-2，2]上的最大值與最小值
解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=，b=-
∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：，減區(qū)間為：
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在[-2，-）上是增函數(shù)，在[-，1）上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)
且f（-2）=-10，f（-）=，f（1）=-1，f（2）=2
∴函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值為f（-2）=-10
點評：本題考察了導數(shù)在求函數(shù)極值中的應用，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法