Question

已知函數f（x）=x²+px+q
（1）求f（1）-2f（2）+f（3）的值
（2）求證：max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}≥

1

2

（3）當max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}=

1

2

時，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）直接根據函數值得定義代入化簡計算即可．
（2）由于直接求max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}不容易，故從反證法的角度進行證明
（3）由已知，f（1）|，|f（2）|，|f（3）|均小于零，列出關于p，q的不等式組求解．

解答：解：f（1）-2f（2）+f（3）=（1²+p+q）-2（2²+2p+q）+（3²+3p+q）=2
（2）用反證法：假設|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|均小于

1

2

即|1+p+q|＜

1

2

；|4+2p+q|＜

1

2

；|9+3p+q|＜

1

2

∴-

1

2

＜1+p+q＜

1

2

（1）
-

1

2

＜4+2p+q＜

1

2

（2）
-

1

2

＜9+3p+q＜

1

2

（3）
（1）+（3）得：-1＜10+4p+2q＜1
-3＜8+4p+2q＜-1

3

2

-＜4+2p+q＜-

1

2

與（2）矛盾，所以假設不成立
∴|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于

1

2

所以max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}≥

1

2

（3）當max{|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|}=

1

2

時
|1+p+q|≤

1

2

；|4+2p+q|≤

1

2

；|9+3p+q|≤

1

2

∴-

1

2

≤1+p+q≤

1

2

（4）
-

1

2

≤4+2p+q≤

1

2

（5）
-

1

2

≤9+3p+q≤

1

2

（6）
（4）×（-1）+（5）得-1≤3+p≤1，得-4≤p≤-2
（5）×（-1）+（6）得-1≤5+p≤1，得-6≤p≤-4，
∴p=-4
同樣地求得q=

7

2

∴y=f（x）=x²-4x+

7

2

點評：本題考查了函數的概念，反證法的應用，“兩邊夾”的方法．屬于中檔題．