Question

對于函數，若存在成立，則稱的不動點。如果函數有且只有兩個不動點0，2，且

    （1）求函數的解析式；

    （2）已知各項不為零的數列，求數列通項；

    （3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.

Answer 1

（1）（2）（3）證明見解析

解析:

（1）依題意有,化簡為 由違達定理, 得

               

解得 代入表達式，由

得 不止有兩個不動點，

   

（2）由題設得     （*）

且          （**）

由（*）與（**）兩式相減得：

   

   

解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項，-1為公差的等差數列，；

  （3）采用反證法，假設則由（1）知

,有

，而當這與假設矛盾，故假設不成立，.

    關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:

    由得<0或

    結論成立；

  若，此時從而即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.