Question

已知直線y=-x+m與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點，若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若向量

OA

•

OB

=0（其中0為坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，結合b=

a2-c2

，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，
∴

c

a

=

3

3

，2c=2
∴c=1，a=

3

∴b=

a2-c2

=

2

∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
將直線y=-x+m，代入橢圓方程，整理可得5x²-6mx+3m²-6=0
∴x₁+x₂=

6m

5

，x₁x₂=

3m2-6

5

∴y₁y₂=

2m2-6

5

∵

OA

•

OB

=0（其中0為坐標原點），
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

3m2-6

5

+

2m2-6

5

=0
∴m=±

2 15

5

，此時△=36m²-20（3m²-6）=

312

5

＞0．

點評：本題考查橢圓的坐標方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．