Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30º，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A₁B₁的中點(diǎn).

（I）求異面直線AE與BF所成的角；

（II）求平面BDF與平面AA₁B所成的二面角（銳角）的大小；

（III）求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

Answer 1

解法一：在長(zhǎng)方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖。

由已知可得。

又平面，從而與平面所成的角為，

又，。

從而易得  …………

（Ⅰ）∵

∴。

即異面直線所成的角為。

（II）易知平面的一個(gè)法向量=(0,1,0).設(shè)=(x，y，z)是平面的一個(gè)法向量，

由

即,…………………………

∴

即平面與平面所成的二面角的大小（銳角）為…………

（III）點(diǎn)到平面的距離，即在平面的法向量n上的投影的絕對(duì)值，

所以距離

所以點(diǎn)到平面的距離為。……………………

解法二：（I）連結(jié)，過(guò)作的垂線，垂足為。

∵與兩底面都垂直，

∴

又因此。

∴為異面直線與所成的角。……………………

連結(jié)，由FK⊥BDD₁B₁得，從而為Rt△。

在和中，由得

，又，

∴

∴異面直線所成的角為。……………………

（Ⅱ）由于，由作的垂線，垂足為，連結(jié)，由三垂線定理知。

∴即為平面與平面所成二面角，且，在平面中，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)。

∵為的中點(diǎn)，且，

∴分別為的中點(diǎn)，

即，

∴為等腰直角三角形，垂足點(diǎn)實(shí)為斜邊的中點(diǎn)，即重合。

易得。在中，，

∴∴

即平面與平面所成的二面角的大小（銳角）為。

（III）由（II）知平面是平面與平面所成二面角的平面角所在的平面，

∴面面。

在中，由作于，則即為點(diǎn)到平面的距離。

由，得

。

所以點(diǎn)到平面的距離為。