Question

如圖揭示了一個由區間（0，1）到實數集R上的對應過程：區間（0，1）內的任意實數m與數軸上的線段AB（不包括端點）上的點M一一對應（圖一），將線段AB圍成一個圓，使兩端A，B恰好重合（圖二），再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1）（圖三）．圖三中直線AM與x軸交于點N（n，0），由此得到一個函數n=f（m），則下列命題中正確的序號是（　　）
（1）f（

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）=0；     
（2）f（x）是偶函數；   
（3）f（x）在其定義域上是增函數；
（4）y=f（x）的圖象關于點（

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，0）對稱．

• A、（1）（3）（4）
• B、（1）（2）（3）
• C、（1）（2）（4）
• D、（1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析：借助于圖形來看四個選項，先利用f（

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）=0，判斷出（1）對，因實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，知（2）錯；從圖形上可得f（x）在定義域上單調遞增，（3）對；先找到f（

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）=0，再利用圖形判斷（4）對．

解答：解：如圖，因為在以為圓心，為半徑的圓上運動，對于①當實數m=

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2

時，對應的點在點A的正下方，此時點N（0，0），所以f（

1

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）=0，即（1）對；
對于（2），因為實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，所以f（x）不存在奇偶性．故（2）錯．
對于（3），當實數m越來越大時，如圖直線AM與x軸的交點N（n，0）也越來越往右，即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調遞增，即（3）對．
對于（4），因f（

1

2

）=0，再由圖形可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱，即（4）對．
故選：A．

點評：本題考查了在新定義的條件下解決函數問題，是一道很好的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．