Question

已知{a_n}是正數組成的數列，a₁=9，并且對任意的n有2a_n+1²+3a_n+1a_n-2a_n²-a_n+1-2a_n=0，那么數列{a_n}的通項公式為

an=1+(

1

2

)n-4

．

Answer 1

分析：由2a_n+1²+3a_n+1a_n-2a_n²-a_n+1-2a_n=0，可得（2a_n+1-a_n）（a_n+1+2a_n）-（a_n+1+2a_n）=0，結合a_n＞0可得2a_n+1-a_n-1=0，構造可得，a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），由等比數列的通項公式可求

解答：解：由2a_n+1²+3a_n+1a_n-2a_n²-a_n+1-2a_n=0，
∴（2a_n+1-a_n）（a_n+1+2a_n）-（a_n+1+2a_n）=0
∵a_n＞0
∴a_n+1+2a_n＞0
2a_n+1-a_n-1=0
∴a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），a₁-1=8
∴{an-

1

2

}是以8為首項，以

1

2

為公比的等比數列
∴an-1=8•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-4
∴an=1+(

1

2

)n-4
故答案為：1+(

1

2

)n-4

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項，解題的關鍵是構造特殊的等比數列