Question

設函數f(x)=

a

2

x2+

x+1

ex

-1(e為自然對數的底數）．
（1）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（2）求證：對于大于1的正整數n，恒有1+

1

n

＜

n	e

＜1+

1

n-1

成立．

Answer 1

分析：（1）x≥0時，f（x）≥0恒成立，故可求出函數在x≥0上的最小值，令最小值大于等于0，從而得到關于參數的不等式，解出a的取值范圍；
（2）借助（1）的證明結論，對于x∈（0，1），當a=0時，f（x）＜0，所以x+1＜e^x，當a=2時，f（x）＞0，所以ex＜

1

1-x

，得出，x+1＜e^x＜

1

1-x

．再將x替換為

1

n

即可得到1+

1

n

＜

n	e

＜1+

1

n-1

解答：解：（1）f′(x)=ax-

x

ex

=x(a-

1

ex

)，
]∵x≥0，
∴e^x≥1，0＜

1

ex

≤1．
①若a≤0，則當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，而f（0）=0，
從而當x＞0時，f（x）＜0，不合題意，應舍去．
②若0＜a＜1，則當x∈（0，-lna）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，而f（0）=0，
從而當x∈（0，-lna）時，f（x）＜0，不合題意，應舍去．
③若a≥1，則當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，而f（0）=0，
從而當x＞0時，f（x）＞0，所以當x≥0時，f（x）≥0恒成立．
綜上，a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）證明：由（1）知，對于x∈（0，1），當a=0時，f（x）＜0，所以x+1＜e^x，
而當a=2時，f（x）＞0，所以ex＜

1

1-x

，
從而x∈（0，1）時，x+1＜e^x＜

1

1-x

．
取x=

1

n

(n≥2)，則1+

1

n

＜

n	e

＜

1

1- 1 n

=

n

n-1

=1+

1

n-1

．

點評：本題考查不等式的證明，及利用函數的最值建立不等式求參數的范圍，本題解題的關鍵是聯想（1）的結論與（2）要證明的不等式間的關系，豐富的數學聯想能力是數學順利解題的基本素養，也是開拓數學新領域必備的素養，本題第一位研究函數的最值用到了導數，導數研究函數的單調性是導數的重要運用，解題時要注意總結用導數研究函數單調性的步驟，本題考查了推理論證能力及數學的想像能力