Question

已知函數，設F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的單調區間；
（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的最小值；
（3）若對所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1），．（2分）
因為a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在上單調遞增；由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上單調遞減．（5分）
（2）恒成立，（7分）
即，當x₀=1時取得最大值．所以，，所以．（10分）
（3）因為x≥e，所以，令，則．（12分）
因為當x≥e時，，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以，所以0＜．（16分）
分析：（1）先求出F（x），然后求出F'（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0 求出F（x）的單調區間；
（2）利用導數的幾何意義表示出切線的斜率k，根據恒成立將a分離出來，，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；
（3）根據x≥e，所以，令，根據h'（x）的符號判定h（x）的單調性，求出最小值，即可求出a的范圍．
點評：本題主要考查了函數的單調性，以及在某點處的切線問題和函數恒成立問題等有關知識，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于綜合題．