Question

某投資公司投資甲乙兩個項目所獲得的利潤分別是M（億元）和N（億元），它們與投資額t（億元）的關系有經驗公式：M=

1

3

t

，N=

1

6

t，今該公司將3億元投資這個項目，若設甲項目投資x億元，投資這兩個項目所獲得的總利潤為y億元．
（1）寫出y關于x的函數表達式；
（2）求總利潤y的最大值．

Answer 1

分析：（1）∴∴，則乙項目投資（3-x）億元，這兩個項目所獲得的總利潤為y=M（億元）+N（億元），由經驗公式：M=

1

3

t

，N=

1

6

t，代入整理即可；
（2）用換元法，設

x

=t，t∈[0.

3

]，則原函數可化為：y=

1

3

t+

1

6

(3-t2)=

1

6

[-(t-1)2+4]，從而求出y的最大值．

解答：解：（1）設甲項目投資x億元，則乙項目投資（3-x）億元，這兩個項目所獲得的總利潤為：
y=

1

3

x

+

1

6

(3-x)，x∈[0，3]；
（2）設

x

=t，t∈[0.

3

]，則x=t²，
∴y=

1

3

t+

1

6

(3-t2)=

1

6

[-(t-1)2+4]；
∵t∈[0，

3

]，
∴當t=1，即x=1時，y有最大值為

2

3

答：總利潤的最大值是

2

3

億元

點評：本題用換元法得到一元二次函數的解析式，所以利用二次函數的性質求其最大值，是基礎題．