Question

20．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點，PA=AB．
（Ⅰ） 證明：AE⊥PD；
（Ⅱ） 若F為PD上的點，EF⊥PD，求EF與平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明AE⊥AD，PA⊥AE，推出AE⊥平面PAD，然后證明AE⊥PD；
（2）連結AF，說明∠AFE為EF與平面PAD所成的角，利用tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}$，求解即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形，又E為BC中點，
∴AE⊥BC；又AD∥BC，
∴AE⊥AD，…（3分）
∵PA⊥平面ABCD，又AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴AE⊥PD；…（6分）
（2）連結AF，由（1）知AE⊥平面PAD，
∴∠AFE為EF與平面PAD所成的角，且AF⊥PD…（8分）
依題意，AF=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EF與平面PAD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．