Question

已知三角形的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設向量，，若．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面積為，求AC邊的最小值，并指明此時三角形的形狀．

Answer 1

考點：

余弦定理；三角形的形狀判斷；正弦定理．

專題：

解三角形．

分析：

（1）利用兩個向量共線的性質、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，從而求得B的值．

（2）由△ABC的面積為，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．

解答：

解：（1），∵，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴．

∵0＜B＜π，∴． …（6分）

（2）由已知得：，∴ac=4．

由余弦定理，b²=a²+c²﹣2accosB=a²+c²﹣ac≥2ac﹣ac=ac，當且僅當“a=c”時取等號．

∴AC的最小值為2，此時三角形為等邊三角形．…（12分）

點評：

本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，兩個向量共線的性質，兩角和差的正弦公式，基本不等式，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．