Question

設集合M={x||x-a|≤（a-1）²}，N={x|x²-3ax+3a-1≤0}，且M∪N=N，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：把集合M中的不等式去絕對值，集合N中的不等式因式分解，然后根據M和N的關系對a分類討論求解a的范圍．

解答：解：由|x-a|≤（a-1）²，得-a²+3a-1≤x≤a²-a+1．
又x²-3ax+3a-1=（x-3a+1）（x-1）．
由M∪N=N，∴M⊆N．
（1）當a≤

2

3

時，N={x|3a-1≤x≤1}．
由M⊆N，
得

-a2+3a-1≥3a-1 a2-a+1≤1

，解得a=0；
（2）當a＞

2

3

時，N={x|1≤x≤3a-1}．
由M⊆N，
得

-a2+3a-1≥1 a2-a+1≤3a-1

，解得

1≤a≤2 2- 2 ≤a≤2+ 2

，所以1≤a≤2．
綜上，a的取值范圍是1≤a≤2或a=0．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了并集及其運算，考查了分類討論的數學思想方法，是中檔題．