Question

已知等比數列{a_n}的各項都是正數，S_n=80，S_2n=6560，且在前n項中，最大的項為54，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：先根據S_n和S_2n的值判斷q≠1，再利用求和公式根據S_n和S_2n的值求出q^n₌₈₁進而推斷q＞1，斷定數列為遞增數列，即最大一項是a_n，進而求出a₁和q的關系式代入S_n=80即可求出n．
解答：解：由已知a_n＞0，得q＞0，若q=1，則有S_n=na₁=80，S_2n=2na₁=160與S_2n=6560矛盾，故q≠1．
∵，由（2）÷（1）得qⁿ=81（3）．
∴q＞1，此數列為一遞增數列，在前n項中，最大一項是a_n，即a_n=54．
又a_n=a₁q^n-1=qⁿ=54，且qⁿ=81，∴a₁=q．即a₁=q．
將a₁=q代入（1）得q（1-qⁿ）=80（1-q），即q（1-81）=80（1-q），解得q=3．又qⁿ=81，∴n=4．
點評：本題主要考查等比數列的通項公式和求和公式的應用．解題的關鍵是通過q判斷數列是遞增還是遞減，還是先增后減或先減后增．