Question

（2014•普陀區一模）設函數f（x）與g（x）都不是常值函數，定義域都是R．則條件“f（x）與g（x）同是奇函數或同是偶函數”是“f（x）與g（x）的積是偶函數”的（　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既非充分又非必要條件

Answer 1

分析：用定義證明f（x），g（x）同是奇函數或同是偶函數則f（x）乘以g（x）一定是偶函數，但f（x）乘以g（x）是偶函數，f（x），g（x）不一定同是奇函數或同是偶函數，取f（x）=x-1，x∈R和g（x）=x+1，x∈R，它們都是非奇非偶函數，但是f（x）•g（x）=x²-1是偶函數．

解答：解：f（x）與g（x）同是奇函數或同是偶函數，以都是奇函數為例，
則f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）
∴f（-x）g（-x）=f（x）g（x）
∴f（x）與g（x）的積是偶函數，
∴f（x），g（x）同是奇函數或同是偶函數則f（x）乘以g（x）一定是偶函數，
但f（x）乘以g（x）是偶函數，f（x），g（x）不一定同是奇函數或同是偶函數．
取f（x）=x-1，x∈R和g（x）=x+1，x∈R，它們都是非奇非偶函數，但是f（x）•g（x）=x²-1是偶函數．
f（x），g（x）同是奇函數或同是偶函數”是“f（x）乘以g（x）是偶函數”的充分不必要條件．
故選A

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件，及函數的奇偶性的判斷，本題解題的關鍵是能夠應用特列說明當兩個函數的積是偶函數時，兩個函數的奇偶性不能確定．