Question

已知函數f（x）=sin（θ+x）+sin（θ-x）-2sinθ，θ∈(0 ， 

3

2

π)，且tan2θ=-

3

4

，若對任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求cosθ的值．

Answer 1

分析：首先對所給的三角函數式進行整理，得到最簡形式，根據有對任意x∈R，都有f（x）≥0成立這種恒成立問題，分析兩個因式的符號，根據符號確定角的范圍，根據同角的三角函數關系得到結果．

解答：解：依題意f（x）=2sinθcosx-2sinθ=2sinθ（cosx-1）
有對任意x∈R，都有f（x）≥0成立
∵cosx-1≤0
∴sinθ≤0
∴π≤θ＜

3

2

π
由tan2θ=-

3

4

得tanθ=3
∴cosθ=-

10

10

即要求的三角函數值是-

10

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點評：本題考查函數恒成立問題，本題解題的關鍵是利用函數的恒成立確定兩個因式的符號，從而確定角的范圍，本題是一個比較綜合的題目．