Question

已知點A（-1，0）、B（1，0），P（x₀，y₀）是直線y=x+2上任意一點，以A、B為焦點的橢圓過點P．記橢圓離心率e關于x₀的函數為e（x₀），函數e（x₀）的最大值是

10

5

．

Answer 1

分析：由題意可得c=1，橢圓離心率e=

c

a

=

1

a

故當a取最大值時e取最小，a取最小值時e取最大，由橢圓的定義可得|PA|+|PB|=2a，a=

|PA|+|PB|

2

，利用對稱性可得結論．

解答：解：由題意可得c=1，橢圓離心率e=

c

a

=

1

a

故當a取最大值時e取最小，a取最小值時e取最大．
由橢圓的定義可得|PA|+|PB|=2a，a=

|PA|+|PB|

2

．
設點A（-1，0）關于直線y=x+2的對稱點的坐標為（m，n），則

n m+1 =-1 n 2 = m-1 2 +2

，解得m=-2，n=1
∴|PA|+|PB|的最小值為

(1+2)2+1

=

5

∴

|PA|+|PB|

2

的最小值為

5

2

∴函數e（x₀）的最大值是

10

5

故答案為：

10

5

點評：本題考查橢圓的定義與幾何性質，考查點關于直線的對稱性，求得點A（-1，0）關于直線y=x+2的對稱點的坐標是關鍵．