Question

已函數f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函數，且f（1）=2．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設F（x）=

x

f(x)

（x＞0）．求F（a）+F（

1

a

）的值，并計算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函數，由f（-x）=-f（x），結合f（1）=2，利用待系數法求解．
（2）先寫出F（x） 的表達式，再分別求得F（a），F（

1

a

）的值，相加即得F（a）+F（

1

a

）的值，最后利用此規律即可計算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函數，且f（1）=2
∴

b=0 2 a =2

解得：a=1，b=0．
∴f（x）的表達式：f（x）=

x2+1

x

．
（2）F（x）=

x

f(x)

=

x2

x2+1

∴F（a）=

a2

a2+1

，F（

1

a

）=

( 1 a )2

( 1 a )2+1

=

1

a2+1

∴F（a）+F（

1

a

）=1；
∴F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）
=

1

2

+3×1=

7

2

．

點評：本小題主要考查函數的值、函數奇偶性的應用、待系數法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．