Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）（a∈R）
（1）若a=0，判斷函數(shù)的單調(diào)性
（2）函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx²+2x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)＜x＜y＜1時(shí)，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在每段的符號可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（1）=2求出a的值，把f（x）代入f（x）≥bx²+2x，分離變量b后得到，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，則b的取值范圍可求；
（3）由（Ⅱ）知在（0，1）上單調(diào)遞減，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124410291937751/SYS201310251244102919377020_DA/3.png">＜x＜y＜1，利用函數(shù)單調(diào)性可比較與的大小．
解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x-xlnx，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）．
f^′（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．
x∈（0，1）時(shí)，f^′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
x∈（1，+∞）時(shí)，f^′（x）＜0f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x²+x-xlnx，由f（x）≥bx²+2x，得．
令，可得g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0；
（3）由（Ⅱ）知在（0，1）上單調(diào)遞減
∴時(shí)，g（x）＞g（y）
即
而時(shí)，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0
∴．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性比較不等式的大小是有一定難度題目．