Question

10．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$的最小值為8．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進行求則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$的最小值．

解答 解：由z=ax+2by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率-$\frac{a}{2b}$＜0，
作出不等式對應的平面區域如圖：
平移直線得y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$，由圖象可知當直線y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$經過點A時，直線y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$的截距最大，此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此時目標函數z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，
即a+2b=1，∴1=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，則ab≤$\frac{1}{8}$，當且僅當a=2b時取等號，
則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{4{b}^{2}}}$=$\frac{1}{ab}$≥8，當且僅當a=2b時取等號，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$的最小值為8
故答案為：8

點評 本題主要考查線性規劃的基本應用，以及基本不等式的應用，利用數形結合求出目標函數取得最大值的條件是解決本題的關鍵．