Question

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC與面DAC所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）要證PA⊥平面ABCD，只需證明直線PA垂直平面ABCD內的兩條相交直線AB、AD即可．
（2）作EG∥PA交AD于G，說明∠EHG是面EAC與面DAC所成二面角的平面角，解三角形求面EAC與面DAC所成的二面角的大小．

解答：解：（I）證明：∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°∴AB=AD=AC=a，
在△PAB中，PA²+AB²=2a²=PB²∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，
同理，PA⊥AD∵AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD（6分）

（II）解：作EG∥PA交AD于G
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD∴EG⊥AC，
作GH⊥AC于H，連接EH，
∴AC⊥平面EHG，∴EH⊥AC，∴∠EHG是面EAC與面DAC所成二面角的平面角（9分）
∵PE：ED=2：1，∴EG=

1

3

a，AG=

2

3

a
在△AGH中，GH=AG•sin60°=

2

3

a×

3

2

=

3

3

a，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

3

3

，∴∠EHG=

π

6

，
即面EAC與面DAC所成二面角的大小為

π

6

（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．